.

Чем меньше , тем точнее будет описывать скорость в момент времени , в связи с чем скоростью в момент времени называют

.

Теперь разберём основное понятие высшей математики — понятие производной.

О: Пусть определена в окрестности т. . Тогда, если

то он именуется производной функции и обозначается как . Действие по нахождению производной функции называется дифференцированием.

Прочие обозначения производной:

О: Функцию, которая имеет производную в каждой точке интервала , именуют дифференцируемой на интервале .

Соотнося формулу скорости движения точки и определение производной, имеем физический смысл производной:

,

то есть скорость прямолинейного неравномерного движения соответствует производной от пути по времени.

Примеры: Применяя определение, найти производную функций:.

◄ 1) .

Пользуясь II замечательным пределом для выражения в квадратных скобках, получаем , в частности .

2) ►

Геометрический смысл производной

Пусть на графике непрерывной функции имеется касательная в т. , которая образует угол с осью (рис 9.1). Построим секущую, где приближается к касательной и.

Получаем формулу

.

Следовательно, производная функции в т. равняется угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой . Запишем уравнение касательной и уравнение нормали (прямой, перпендикулярной к касательной) в т. . Поскольку уравнение пучка прямых, которые проходят через т. , имеет вид , то уравнение касательной будет иметь вид , а уравнение нормали вследствие условия перпендикулярности:

.

Пример: Найти уравнение касательной и нормали к графику в точке с абсциссой.

◄ Поскольку, то уравнение касательной уравнение нормали ►

Существование производной и непрерывность

Т: Если функция подлежит дифференцированию в т. x, то в этой точке она непрерывна ■

□ Докажем выполнение условия 2) исходя из О.1

Следствие. Функция не может иметь производной в точке разрыва. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности функции не вытекает существование производной в т. x. Например, непрерывна в т. , график функции не имеет касательной в точке с абсциссой и функция не подлежит дифференцированию в т. (рис.)