Дифференциальное уравнение - Математика

Дифференциальное уравнение

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, $\ f'(x)=f(f(x))$ не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных. Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него. Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y''(x),...,y⁽ⁿ⁾(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет. Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ) в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) ,включающие случайные процессы. Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида $F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0\!$ или $F\left(x,y,\frac{dy}{dx},\frac{d^{2}y}{dx^2},...,\frac{d^{n}y}{dx^n}\right)=0$ , где $~y=y(x)$ — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число называется порядком дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде: Общий вид таких уравнений можно представить в виде: $F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)= 0$ , где $x_1, x_2,\dots, x_m$ — независимые переменные, а $z\! = z(x_1, x_2,\dots, x_m)$ — функция этих переменных. y'' + 9y = 0 — однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решением является семейство функций y = (C₁cos(3x) + C₂sin(3x)), где C₁ и C₂ — произвольные константы. Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения $m \frac{d^2 x}{dt^2}= F(x,t)$ , где $m$ — масса тела, $x$ — его координата, $F (x, t)$ — сила, действующее на тело с координатой $x$ в момент времени $t$ . Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы. Колебание струны задается уравнением $\frac{\partial{}^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ , где $u = u (x, t)$ — отклонение струны в точке с координатой $x$ в момент времени волновое уравнение.
1 2 3 4 5 Категория: Математика \| Добавил: teacher (28.10.2011)
Просмотров: 1521 \| Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]