Приветствую Вас, Гость
Главная » Математика

Дифференциальное уравнение
Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, \ f'(x)=f(f(x)) не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y''(x),...,y(n)(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ) в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) ,включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0\! или F\left(x,y,\frac{dy}{dx},\frac{d^{2}y}{dx^2},...,\frac{d^{n}y}{dx^n}\right)=0,

где ~y=y(x)  — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной ~x, штрих означает дифференцирование по ~x. Число ~nназывается порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

Общий вид таких уравнений можно представить в виде:
F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)= 0,

где x_1, x_2,\dots, x_m — независимые переменные, а z\! = z(x_1, x_2,\dots, x_m) — функция этих переменных.

y'' + 9y = 0 — однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решением является семейство функций y = (C1cos(3x) + C2sin(3x)), где C1 и C2 — произвольные константы.

Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения m \frac{d^2 x}{dt^2}= F(x,t), где m — масса тела, x — его координата, F(x,t) — сила, действующее на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы. Колебание струны задается уравнением \frac{\partial{}^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, где u = u(x,t) — отклонение струны в точке с координатой x в момент времени волновое уравнение.


Категория: Математика | Добавил: teacher (28.10.2011)
Просмотров: 1047 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]