Приветствую Вас, Гость
Главная » Математика

Физический и геометрический смысл производной


Разберём задачу на определение скорости движения точки. Пусть материальная точка движется неравномерно и прямолинейно согласно закону 1_html_6b2e0d77.gif, где1_html_m67682fd2.gif — время,1_html_fa1a676.gif — путь. Средняя скорость движения за время 1_html_m3b244d7e.gif будет равна

1_html_35b197c8.gif.

 

Чем меньше 1_html_m3b244d7e.gif, тем точнее1_html_61086b72.gif будет описывать скорость в момент времени 1_html_1f385e1e.gif, в связи с чем скоростью в момент времени 1_html_1f385e1e.gif называют

 

1_html_m399a4db1.gif.

 

Теперь разберём основное понятие высшей математики — понятие производной.

 

О: Пусть 1_html_m17ec6329.gif определена в окрестности т. 1_html_2ae85892.gif. Тогда, если

1_html_m6db129ec.gifто он именуется производной функции 1_html_m34a3a81f.gif и обозначается как 1_html_462704ed.gif. Действие по нахождению производной функции называется дифференцированием.

 

Прочие обозначения производной:1_html_10559027.gif

 

О: Функцию, которая имеет производную в каждой точке интервала 1_html_7ef4d980.gif, именуют дифференцируемой на интервале 1_html_7ef4d980.gif.

 

Соотнося формулу скорости движения точки и определение производной, имеем физический смысл производной:

 

1_html_6c4a12d1.gif,

 

то есть скорость прямолинейного неравномерного движения соответствует производной от пути по времени.

 

Примеры: Применяя определение, найти производную функций:1_html_6a2ee2b8.gif.

 

◄ 1) 1_html_m4ab6a281_show.gif.

 

Пользуясь II замечательным пределом для выражения в квадратных скобках, получаем 1_html_m66c793a9.gif, в частности 1_html_cdbb6f6.gif.

 

2) 1_html_m1d65dd6a.gif

 

 

Геометрический смысл производной

 

Пусть на графике непрерывной функции 1_html_41b1e910.gif имеется касательная в т. 1_html_5a324c8a.gif, которая образует угол1_html_17fa251a.gif с осью1_html_37218018.gif (рис 9.1). Построим секущую1_html_3e93ffb9.gif, где 1_html_3e93ffb9.gif приближается к касательной и1_html_5d566f38.gif.

 

Получаем формулу

 

1_html_55baab5.gif.

 

1_html_76c0899d.gif
 

Следовательно, производная функции1_html_m34a3a81f.gif в т. 1_html_62664274.gifравняется угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой 1_html_m52b8295e.gif. Запишем уравнение касательной и уравнение нормали (прямой, перпендикулярной к касательной) в т. 1_html_m454e4bbc.gif. Поскольку уравнение пучка прямых, которые проходят через т. 1_html_m203a81d4.gif, имеет вид 1_html_3799acf2.gif, то уравнение касательной будет иметь вид 1_html_5ca21b76.gif, а уравнение нормали вследствие условия перпендикулярности:

 

1_html_5769d1bf.gif.

Пример: Найти уравнение касательной и нормали к графику 1_html_3c9efb6b.gifв точке с абсциссой1_html_m5449ea79.gif.

◄ Поскольку1_html_m2d965eaa.gif, то уравнение касательной 1_html_32384646.gifуравнение нормали 1_html_75b8bf6a.gif

 

Существование производной и непрерывность

 

Т: Если функция 1_html_411b3bbb.gif подлежит дифференцированию в т. x, то в этой точке она непрерывна ■

 

□ Докажем выполнение условия 2) исходя из О.1

 

1_html_m7c8338f4.gif

 

Следствие. Функция не может иметь производной в точке разрыва. Обратное утверждение неверно, то есть из непрерывности функции 1_html_2ae85892.gif не вытекает существование производной в т. x. Например, 1_html_m4c05d1ca.gif непрерывна в т. 1_html_5b7adf3f.gif, график функции не имеет касательной в точке с абсциссой 1_html_5b7adf3f.gif и функция не подлежит дифференцированию в т. 1_html_5b7adf3f.gif (рис.)

1_html_3fefc082.gif
 




Источник: http://radiomaster.ru/forum/topic/6/
Категория: Математика | Добавил: teacher (04.06.2010)
Просмотров: 20625 | Комментарии: 1 | Рейтинг: 3.4/8
Всего комментариев: 1
1  
Скажите пожалуйста производная (дифференциал) функции "у" иногда приходится встречать в литературе в виде записи dy/dt , а иногда с точкой наверху в виде y' . Эти две формы записи обозначают абсолютно одно и то же или нет? Артём

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]